O estudo do espetro de equações diferenciais como a equação de Schrödinger é um tópico clássico da Física Matemática cuja centralidade remonta pelo menos ao trabalho de matemáticos como Hilbert, Courant, Weyl e Pólya, e físicos como Rayleigh, Lorentz e Sommerfeld na viragem do Século XX. É uma área de destaque do GFM, onde os nossos membros se focam em propriedades qualitativas e quantitativas de operadores como o Laplaciano e operadores de Schrödinger, em vários contextos como o espaço euclidiano, variedades Riemannianas, ou grafos quânticos.
A ênfase do nosso trabalho é na ligação entre propriedades analíticas do espetro, dos valores próprios e das funções próprias do operador, e propriedades geométricas do conjunto ou da variedade em que está definido, como, por exemplo, através de desigualdades isoperimétricas, ou a influência da geometria no comportamento de conjuntos extremais para quantidades espetrais.
Esta análise é complementada pelo desenvolvimento de novos métodos numéricos rigorosos para o estudo de problemas de otimização na teoria espetral, que têm aplicações não só no apoio de estudos teóricos e na formulação e no teste de novas conjeturas, como em problemas clássicos e novos vindo de aplicações físicas como a acústica musical, ou a engenharia civil e mecânica.
Atualmente, os nossos membros trabalham principalmente nos seguintes temas:
- Análise espetral de grafos quânticos
- Determinantes espetrais
- Estudo assintótico do espetro de operadores
- Métodos numéricos para problemas de otimização de forma, inclusive em 3D e 4D
- Otimização de forma e desigualdades isoperimétricas na teoria espetral
- Partições espetrais minimais
Os seminários dados no âmbito desta área muitas vezes integram a série de webinars Lisbon WADE, uma série organizada com o apoio do GFM em parceria com dois outros centros de investigação em Lisboa.
Membros que trabalham nesta área: Pêdra Andrade, Pedro Antunes, Pedro Freitas, James Kennedy, Isabel Salavessa
Estudantes atuais nesta área: Hernani Calunga, Simão Eusébio, Miguel Santiago, Vinicius Santos
Alguns antigos estudantes e pós-docs recentes: Andrea Serio, Corentin Léna, Davide Buoso, Matthias Hofmann, Gianpaolo Piscitelli, Ophélie Rouby
Algumas publicações-chave recentes:
- P. R. S. Antunes, R. D. Benguria, V. Lotoreichik e T. Ourmières-Bonafos, A variational formulation for Dirac operators in bounded domains. Applications to spectral geometric inequalities, Comm. Math. Phys. 386 (2021), 781-818
URL: https://doi.org/10.1007/s00220-021-03959-6 - G. Berkolaiko, J. B. Kennedy, P. Kurasov e D. Mugnolo, Surgery methods for the spectral analysis of quantum graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019), 5153-5197
URL: https://doi.org/10.1090/tran/7864 - P. Freitas e J. B. Kennedy, Extremal domains and Pólya-type inequalities for the Robin Laplacian on rectangles and unions of rectangles, Int. Math. Res. Not. IMRN 2021, 13730–13782 (2021)
URL: https://doi.org/10.1093/imrn/rnz204 - P. Freitas e R. S. Laugesen, From Neumann to Steklov and beyond, via Robin: the Weinberger way, Amer. J. Math. 143 (2021), 969–994
URL: https://doi.org/10.1353/ajm.2021.0024 - P. Freitas e I. Salavessa, Families of non-tiling domains satisfying Pólya’s conjecture, J. Math. Phys. 64 (2023), 121503
URL: https://doi.org/10.1063/5.0161050
Alguns artigos de resumo recentes:
- P. R. S. Antunes e E. Oudet, Numerical results for extremal problem for eigenvalues of the Laplacian, Capítulo 11 em A. Henrot (ed.), Shape optimization and spectral theory, De Gruyter Open, Warsaw, 2017
URL: https://doi.org/10.1515/9783110550887 - D. Bucur, P. Freitas e J. Kennedy, The Robin problem, Capítulo 4 em A. Henrot (ed.), Shape optimization and spectral theory, De Gruyter Open, Warsaw, 2017
URL: https://doi.org/10.1515/9783110550887
