Desde a sua criação no início do Século XX, a Mecânica Quântica tem colocado problemas matemáticos desafiadores, por exemplo, determinação de espectros de operadores ou determinação de representações de álgebras de operadores. Principalmente após a introdução da Teoria Quântica de Campos (QFT), os problemas matemáticos tornaram-se mais difíceis, o que foi resolvido no caso do Modelo Padrão usando a ideia de integral de caminho e a ideia de QFT renormalizável. No entanto, estas novas ideias matemáticas revelaram-se insuficientes para o caso da quantização da gravidade, de modo que várias novas abordagens matemáticas foram desenvolvidas, tais como supersimetria, teoria das cordas, geometria não comutativa e modelos de soma de estados.
No que diz respeito ao problema da gravidade quântica, seguimos a abordagem de integral de caminho onde o espaço-tempo representado por uma variedade suave é substituído por uma variedade linear por partes (PL), de modo que a variedade PL corresponda a uma triangulação da variedade suave. Definir o limite de um integral de caminho PL a uma variedade suave ainda é um problema difícil; entretanto, se assumirmos que a estrutura do espaço-tempo de curta distância é uma variedade PL, então o espaço-tempo suave pode ser considerado como uma aproximação quando o comprimento médio das arestas em uma região do espaço-tempo é suficientemente pequeno e há um grande número de simplexos. Neste caso, a ação efetiva correspondente pode ser aproximada por uma ação efetiva de QFT para o espaço-tempo suave, de modo que o QFT correspondente tenha um cutoff determinado pelo comprimento médio das arestas.
Também estamos interessados na Teoria de Gauge Superior, porque o uso de grupos categóricos superiores é uma boa maneira de generalizar a simetria de gauge. Pode-se então obter novos QFTs topológicos, bem como novas maneiras de formular as simetrias para partículas elementares e campos de gauge.
No que diz respeito à mecânica quântica usual, o desenvolvimento de computadores quânticos revigorou o interesse em sistemas quânticos definidos em espaços de Hilbert de dimensão finita. Investigamos o problema geral de construção de critérios simples e computáveis para caracterizar os estados clássicos e quânticos, bem como estados quânticos puros, mistos, separáveis ou entrelaçados para sistemas definidos em espaços de Hilbert de dimensão infinita. Estudamos também o problema de caracterizar a forma geral dos mapeamentos entre esses conjuntos de estados.
Estes são problemas de longa data cujas soluções (parciais) são importantes para aplicações na teoria da informação quântica e na computação quântica. Trabalhamos principalmente no contexto da formulação do espaço de fase da mecânica quântica que, em nossa opinião, fornece uma estrutura superior para resolver estes problemas, unificando a formulação da mecânica clássica e quântica, e dos diferentes tipos de estados quânticos. Os objetos centrais desta formulação são as distribuições quânticas, particularmente a função de Wigner. Estamos muito interessados em estudar as propriedades gerais destes objetos e em explorar o princípio da incerteza para construir as condições necessárias para um comportamento quântico.
Também estamos interessados em sistemas clássicos e quânticos exatamente integráveis, em particular, nos modelos exatamente integráveis da Relatividade Geral e nos modelos de Gaudin.
Em concreto, atualmente trabalhamos nos seguintes tópicos:
- Teoria de gauge superior
- Modelos de soma de estados de gravidade quântica e TQFTs
- Gravidade quântica plana por partes
- Critérios para estados quanticos
- Mecânica quântica no espaço de fases
- Ansatz de Bethe algébrico
Membros que trabalham nesta área: Nuno Costa Dias, Nenad Manojlović, Aleksandar Miković, João Nuno Prata
Livro recente:
- A. Mikovic e M. Vojinovic, State-sum models of PL quantum gravity, World Scientific, 2023
URL: https://doi.org/10.1142/13233
Umas outras publicações recentes:
- N. C. Dias, M. de Gosson e J. N. Prata, Partial traces and the geometry of entanglement; sufficient conditions for the separability of Gaussian states, Rev. Math. Phys. 34 (2022), 2250005
URL: https://doi.org/10.1142/S0129055X22500052 - N. C. Dias, F. Luef e J. N. Prata, Uncertainty Principle Via Variational Calculus on Modulation Spaces, J. Funct. Anal. 283 (2022), 109605
URL: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2022.109605 - N. C. Dias e J. N. Prata, Quantum mappings acting by coordinate transformations on Wigner distributions, Rev. Mat. Iberoamericana 35 (2019), 317-337
URL: https://doi.org/10.4171/rmi/1056 - N. Manojlovic e I. Salom, Rational so(3) Gaudin model with general boundary terms, Nucl. Phys. B 978 (2022), 115747.
URL: https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2022.115747 - A. Mikovic e N. Manojlovic, Self-dual cosmological Bianchi IX and VIII metrics, Adv. Theor. Math. Phys. 26 (2022), 2841-2857
URL: https://dx.doi.org/10.4310/ATMP.2022.v26.n8.a10
