Membros que trabalham nesta área: Ana Bela Cruzeiro, Léonard Monsaingeon, Jean-Claude Zambrini
Alguns estudantes e pós-docs recentes: Neeraj Bhauryal, Xin Chen, Qiao Huang, Alexandra Symeonides
Os nossos membros que trabalham nesta área focam-se principalmente nos seguintes temas:
- Deformação estocástica
- Integrais de Feynman
- Mecânica geométrica estocástica
- Transporte ótimo
embora outros tópicos de Análise Estocástica, tais como problemas de controlo estocástico ou equações às derivadas parciais estocásticas, sejam também estudados neste grupo.
A Análise Estocástica é o estudo analítico de fenómenos aleatórios. É baseada em trabalhos de Wiener, Itô, Cameron-Martin, Girsanov e outros. Tradicionalmente temos desenvolvido o Cálculo de Malliavin, a teoria de diferenciação em espaços de caminhos (também curvos) equipados com a medida de Wiener, que é adaptada a funcionais muito irregulares gerados pelo cálculo de Itô.
Recentemente uma grande parte da nossa actividade nesta área é dedicada à Mecânica Geométrica Estocástica. A Mecânica Geométrica é um domínio que aplica métodos geométricos a vários sistemas mecânicos, desde Mecânica de partículas a Dinâmica dos fluidos. Desenvolvemos novas abordagens de Mecânica Geométrica Estocástica, que generalizam a Mecânica Geométrica de sistemas dinâmicos clássicos (determinísticos) ao caso dos aleatórios, usando processos de difusão com valores em grupos de Lie. A aleatoriedade pode ser explicada por perturbações ou, de maneira mais fundamental, com estando no centro de fenómenos usualmente descritos por equações deterministas. A redução simétrica fornece princípios variacionais deterministas e também estocásticos para equações do movimento dissipativas. Em dimensão infinita as equações de Hidrodinâmica tais como a equação de Navier-Stokes incompressível (ou compressível, considerando aqui uma formulação via produtos semidirectos) são derivadas, sem recurso à termodinâmica. Também uma geometria diferencial de segunda ordem (Meyer-Schwartz) pode ser elaborada, neste caso motivada por analogias com a Mecânica Quântica.
A Deformação Estocástica foi iniciada em 1984-86, baseada num problema variacional esquecido de Schrödinger (1931), e motivada pelo intrigante conteúdo probabilístico da Mecânica Quântica. Alguns dos resultados obtidos forneceram uma re-interpretação matemática da abordagem de Integral de caminho de Feynman, em termos de duas equações parabólicas adjuntas. O método, contudo, é muito mais geral e pode ser visto como um modo sistemático de deformar estruturas clássicas em probabilísticas, ao longo de caminhos de processos estocásticos apropriados. Tais processos têm sido referidos como processos de Bernstein, variacionais, ou ainda locais de Markov. Feynman considerou informalmente apenas processos de difusão e de saltos mas a nossa Deformação estocástica é aplicável a qualquer tipo de processo. As medidas de probabilidade associadas são intrinsecamente invariantes por inversão no tempo de um modo mais geral do que o tradicionalmente considerado pelos probabilistas.
Este programa pode ser encarado na perspectiva da Mecânica Estatística, mais precisamente da Física Estatística Quântica, onde o conceito de entropia é natural.
A comunidade de transporte de Massa redescobriu recentemente o “Problema de Schrödinger” e usou-o como uma ferramenta de regularização. Este problema é hoje intensamente usado e desenvolvido.
A teoria dos Integrais de caminho de Feynman tem um estatuto curioso em Física Matemática. Por um lado, é difícil encontrar novas ideias de Física Estatística Quântica que não possam ser formuladas de maneira mais elegante nestes termos. Por outro, ainda hoje falta largamente uma formulação matemática rigorosa.
Existem, no entanto, contrapartidas matemáticas para alguns aspectos da abordagem de Feynman. A primeira, devida a M. Kac, é vista como a versão “Euclideana” da representação original de Feynman da solução da equação de
Schrödinger por um Integral de caminho onde, desta vez, a equação do calor (com potencial) correspondente é considerada. A familiar relação entre a equação do calor livre e a medida de Wiener é a chave desta abordagem. A nossa solução do problema de Schrödinger é um quadro Euclideano completamente diferente, com um conteúdo dinâmico mais rico.
A relação entre o problema variacional original de Schrödinger a Teoria de transporte de massa é devida a Mikami em 2004 (cf. T. Mikami, “Stochastic Optimal Transport”, Springer, 2021, para a sua história). Uma maneira de interpretar este princípio é um problema de minimização de entropia (H. Föllmer) que converge para a interpretação fuido-mecânica de Benamou-Brenier do Transporte Optimo determinístico. Tal fornece visões profundas de questões fundamentais como curvatura, geometria, desigualdades funcionais, para só mencionar alguns exemplos, e prolonga-se a situações mais gerais do que partículas Brownianas independentes em espaços Euclideanos. Além disso, uma tal deformação estocástica entrópica do transporte optimo determinista permite derivar algoritmos rápidos e paralelizáveis que aproximam com precisão problemas de transporte optimo inviáveis de outro modo.
Algumas publicações-chave recentes:
- M. Arnaudon, A. B. Cruzeiro e J. C. Zambrini, An entropic interpolation problem for incompressible viscous fluids, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 56 (2020), 2211-2235
URL: https://doi.org/10.1214/19-AIHP1036 - X. Chen, A. B. Cruzeiro e T. S. Ratiu, Stochastic Variational Principles for Dissipative Equations with Advected Quantities, J. Nonlinear Sci. 33 (2023), 5, 62 pp.
URL: https://doi.org/10.1007/s00332-022-09846-1 - A. B. Cruzeiro, D. D. Holm e T. Ratiu, Momentum Maps and Stochastic Clebsch Action Principles, Comm. Math. Phys. 357 (2018), 873-912
URL: https://doi.org/10.1007/s00220-017-3048-x - Q. Huang e J. C. Zambrini, From second order differential geometry to stochastic geometric mechanics, J. Nonlinear Sci. 33 (2023), 6, 127 pp.
URL: https://doi.org/10.1007/s00332-023-09917-x - L. Monsaingeon, L. Tamanini e D. Vorotnikov, The dynamical Schrödinger problem in abstract metric spaces, Adv. Math. 426 (2023), 109100
URL: https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109100
